Polynom (Mnohočlen)

Polynom je jeden ze základních pojmů algebry a matematické analýzy. Formálně se polynom $P$ stupně $n$ v proměnné $x$ zapisuje jako součet mocnin:

$$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$$

Kde:

$x$ je proměnná.

$a_n, \dots, a_0$ jsou koeficienty (reálná nebo komplexní čísla).

$n$ je stupeň polynomu (nejvyšší exponent s nenulovým koeficientem).

Části a typy polynomů

Podle počtu členů rozlišujeme:

Monom (jednočlen): Obsahuje pouze jeden člen (např. $5x^2$).

Binom (dvojčlen): Obsahuje dva členy (např. $x + 3$).

Trinom (trojčlen): Obsahuje tři členy (např. $x^2 + 2x + 1$).

Podle stupně ($n$) rozlišujeme:

Stupeň	Název	Příklad	Tvar grafu
0	Konstantní	$P(x) = 5$	Vodorovná přímka
1	Lineární	$P(x) = 2x - 1$	Šikmá přímka
2	Kvadratický	$P(x) = x	2 - 4$	Parabola
3	Kubický	$P(x) = x	3 + x$	Kubická křivka

Kořeny polynomu

Kořen polynomu je taková hodnota proměnné $x$, pro kterou platí $P(x) = 0$. Geometricky jsou to body, ve kterých graf funkce protíná osu $x$.

Základní věta algebry: Každý polynom stupně $n \ge 1$ má v oboru komplexních čísel právě $n$ kořenů (při započtení jejich násobnosti).

K nalezení kořenů kvadratického polynomu ($ax^2 + bx + c = 0$) používáme vzorec s diskriminantem:

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Operace s polynomy

Polynomy lze sčítat, odčítat a násobit, přičemž výsledkem je vždy opět polynom.

Sčítání: Sčítáme koeficienty u členů se stejným exponentem.

Násobení: Každý člen prvního polynomu násobíme každým členem druhého polynomu.

Dělení: Výsledkem dělení dvou polynomů nemusí být polynom, ale racionální lomená funkce. Dělení se provádí podobně jako dělení čísel „pod sebou“.

[Image of polynomial long division process step by step]

Využití v praxi

Polynomy nejsou jen teoretickou konstrukcí, mají obrovské využití v informatice a technice:

Interpolace: Prokládání křivky sadou naměřených bodů (např. v grafických editorech).

Kryptografie: Mnoho šifrovacích algoritmů je založeno na vlastnostech polynomů v konečných tělesech.

Počítačová grafika: Bézierovy křivky používané ve vektorové grafice jsou definovány pomocí polynomů.

Fyzika: Popis drah pohybu (např. šikmý vrh je popsán kvadratickým polynomem).

Související pojmy: Algebra, Kvadratická rovnice, Funkce, Komplexní čísla, Vektorová grafika.