====== Redukce dimenzionality (PCA) ======

**Redukce dimenzionality** je proces snižování počtu vstupních proměnných (rysů/dimenzí) v datové sadě. Cílem je zjednodušit data, odstranit šum a umožnit vizualizaci při zachování co největšího množství původních informací.

Nejznámější a nejpoužívanější lineární metodou pro tento úkol je **Analýza hlavních komponent** (Principal Component Analysis – **PCA**).



===== 1. Proč redukovat dimenze? =====

  * **Prokletí dimenzionality (Curse of Dimensionality):** S rostoucím počtem dimenzí se data stávají "řídkými", což zhoršuje výkon mnoha algoritmů (např. [[it:ml:clustering|K-Means]] nebo k-NN).
  * **Vizualizace:** Lidé dokáží vnímat data maximálně ve 3D. PCA umožní promítnout např. 100-rozměrná data do 2D grafu.
  * **Odstranění multikolinearity:** PCA vytvoří nové rysy, které mezi sebou nejsou korelované.
  * **Zrychlení výpočtů:** Méně dat znamená rychlejší trénování modelů a nižší nároky na paměť.

===== 2. Jak PCA funguje? (Princip) =====

PCA matematicky transformuje data do nového souřadnicového systému:

  1. **Hledání směru největšího rozptylu:** Algoritmus najde směr (osu), ve kterém se data nejvíce mění. Tato osa se nazývá **První hlavní komponenta (PC1)**.
  2. **Ortogonalita:** Druhá hlavní komponenta (**PC2**) musí být kolmá na první a musí vysvětlovat druhý největší podíl zbývajícího rozptylu.
  3. **Projekce:** Původní data jsou promítnuta na tyto nové osy.



===== 3. Postup výpočtu (Algoritmus) =====

Pro zájemce o matematické pozadí probíhá PCA v těchto krocích:
  * **Standardizace:** Data musí mít průměr 0 a rozptyl 1 (jinak by proměnné s velkými čísly dominovaly).
  * **Výpočet kovarianční matice:** Určení vztahů mezi všemi dvojicemi rysů.
  * **Výpočet vlastních čísel (eigenvalues) a vlastních vektorů (eigenvectors):** Ty určují směr a sílu hlavních komponent.
  * **Seřazení:** Komponenty se seřadí podle velikosti vlastních čísel.

===== 4. Praktické využití =====

  * **Komprese obrazu:** Snížení počtu pixelů při zachování rozpoznatelnosti objektů.
  * **Genetika:** Analýza tisíců genů a jejich seskupování do skupin podle podobnosti.
  * **Finance:** Identifikace hlavních faktorů ovlivňujících trh (např. úrokové sazby, inflace).
  * **Preprocessing pro ML:** Často se používá jako krok před nasazením [[it:ml:regrese|regrese]] nebo klasifikace.

===== 5. Omezení PCA =====

  * **Ztráta interpretovatelnosti:** Hlavní komponenty jsou lineární kombinací původních rysů. Např. PC1 už není "věk", ale složitý vzorec složený z věku, příjmu a vzdělání.
  * **Lineární omezení:** PCA předpokládá lineární vztahy. Pro nelineární data jsou vhodnější metody jako **t-SNE** nebo [[it:ai:autoencoders|Autoenkodéry]].

===== Ukázka v Pythonu (Scikit-Learn) =====

<code python>
from sklearn.decomposition import PCA
from sklearn.preprocessing import StandardScaler

# 1. Standardizace dat
X_std = StandardScaler().fit_transform(X)

# 2. Inicializace PCA (chceme zachovat 2 nejdůležitější komponenty)
pca = PCA(n_components=2)
X_pca = pca.fit_transform(X_std)

# 3. Zjištění, kolik informací jsme zachovali
print(f"Zachovaný rozptyl: {pca.explained_variance_ratio_.sum()}")
</code>

----
//Související články://
  * [[it:ml:standardization|Standardizace a normalizace dat]]
  * [[it:ai:autoencoders|Autoenkodéry (Nelineární redukce)]]
  * [[it:ml:clustering|Shlukování a jeho problémy v mnoha dimenzích]]

//Tagy: {{tag>ai ml pca statistika dimensionality_reduction math}}//