====== Polynom (Mnohočlen) ======

**Polynom** je jeden ze základních pojmů [[algebra|algebry]] a matematické analýzy. Formálně se polynom $P$ stupně $n$ v proměnné $x$ zapisuje jako součet mocnin:

$$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$$

Kde:
  * **$x$** je proměnná.
  * **$a_n, \dots, a_0$** jsou koeficienty (reálná nebo komplexní čísla).
  * **$n$** je stupeň polynomu (nejvyšší exponent s nenulovým koeficientem).

----

====== Části a typy polynomů ======

Podle počtu členů rozlišujeme:
  * **Monom (jednočlen):** Obsahuje pouze jeden člen (např. $5x^2$).
  * **Binom (dvojčlen):** Obsahuje dva členy (např. $x + 3$).
  * **Trinom (trojčlen):** Obsahuje tři členy (např. $x^2 + 2x + 1$).

Podle stupně ($n$) rozlišujeme:
^ Stupeň ^ Název ^ Příklad ^ Tvar grafu ^
| 0 | Konstantní | $P(x) = 5$ | Vodorovná přímka |
| 1 | Lineární | $P(x) = 2x - 1$ | Šikmá přímka |
| 2 | Kvadratický | $P(x) = x^2 - 4$ | Parabola |
| 3 | Kubický | $P(x) = x^3 + x$ | Kubická křivka |



----

====== Kořeny polynomu ======

**Kořen polynomu** je taková hodnota proměnné $x$, pro kterou platí $P(x) = 0$. Geometricky jsou to body, ve kterých graf funkce protíná osu $x$.

  * **Základní věta algebry:** Každý polynom stupně $n \ge 1$ má v oboru komplexních čísel právě $n$ kořenů (při započtení jejich násobnosti).
  * K nalezení kořenů kvadratického polynomu ($ax^2 + bx + c = 0$) používáme vzorec s diskriminantem:
  $$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

----

====== Operace s polynomy ======

Polynomy lze sčítat, odčítat a násobit, přičemž výsledkem je vždy opět polynom.
  * **Sčítání:** Sčítáme koeficienty u členů se stejným exponentem.
  * **Násobení:** Každý člen prvního polynomu násobíme každým členem druhého polynomu.
  * **Dělení:** Výsledkem dělení dvou polynomů nemusí být polynom, ale racionální lomená funkce. Dělení se provádí podobně jako dělení čísel "pod sebou".



[Image of polynomial long division process step by step]


----

====== Využití v praxi ======

Polynomy nejsou jen teoretickou konstrukcí, mají obrovské využití v informatice a technice:
  * **Interpolace:** Prokládání křivky sadou naměřených bodů (např. v grafických editorech).
  * **Kryptografie:** Mnoho šifrovacích algoritmů je založeno na vlastnostech polynomů v konečných tělesech.
  * **Počítačová grafika:** Bézierovy křivky používané ve vektorové grafice jsou definovány pomocí polynomů.
  * **Fyzika:** Popis drah pohybu (např. šikmý vrh je popsán kvadratickým polynomem).

----
//Související pojmy: Algebra, Kvadratická rovnice, Funkce, Komplexní čísla, Vektorová grafika.//