Obsah
Lineární algebra pro AI
Lineární algebra je základním pilířem umělé inteligence (AI) a strojového učení (ML). Poskytuje matematický aparát pro efektivní práci s velkými objemy dat, transformaci informací a optimalizaci algoritmů. Většina operací v hlubokém učení (deep learning) není v jádru nic jiného než rozsáhlé operace nad maticemi a vektory.
Základní datové struktury
V AI pracujeme se čtyřmi hlavními úrovněmi abstrakce dat:
- Skalár: Jedno číslo (např. váha jednoho neuronu).
- Vektor: Seznam čísel (např. rysy/features jednoho obrázku).
- Matice: Tabulka čísel (např. celý dataset nebo parametry vrstvy v neuronové síti).
- Tenzor: Vícedimenzionální pole (např. barevný obrázek s rozměry: šířka x výška x barevné kanály).
Klíčové operace
Skalární součin (Dot Product)
Jedna z nejdůležitějších operací. V neuronových sítích se používá k výpočtu aktivace neuronu. Skalární součin vektoru vstupů $x$ a vektoru vah $w$ určuje, jak moc vstup odpovídá naučenému vzoru.
Formálně: $x \cdot w = \sum_{i=1}^{n} x_i w_i$
Násobení matic
Zatímco skalární součin řeší jeden neuron, násobení matic řeší celou vrstvu sítě najednou. Je to proces, který transformuje vstupní prostor do jiného (např. z 784 pixelů na 128 abstraktních rysů).
| Operace | Význam v AI |
|---|---|
| Matice x Vektor | Transformace jednoho datového bodu. |
| Matice x Matice | Průchod celého „batche“ dat vrstvou sítě. |
| Transpozice | Překlopení matice, nutné při výpočtu zpětného šíření chyby (backpropagation). |
Pokročilé koncepty v AI
Vlastní čísla a vlastní vektory (Eigenvalues & Eigenvectors)
Pomáhají pochopit „směr“, kterým se data nejvíce mění.
- Využití: Algoritmus PCA (Principal Component Analysis), který slouží k redukci dimenzionality (zjednodušení dat při zachování nejdůležitějších informací).
Singulární rozklad (SVD - Singular Value Decomposition)
Metoda rozkladu matice na tři specifické komponenty.
- Využití: Doporučovací systémy (např. Netflix/Spotify) pro hledání skrytých vztahů mezi uživateli a obsahem.
Proč je lineární algebra nezbytná?
- Efektivita: Moderní grafické karty (GPU) jsou hardware navržený speciálně pro paralelní provádění operací lineární algebry.
- Reprezentace: Vše v AI (text, zvuk, obraz) musí být převedeno na vektory čísel (tzv. embeddings), aby s tím počítač mohl pracovat.
- Optimalizace: Gradientní sestup (hledání minima chybové funkce) se opírá o derivace vektorových polí.
Zajímavost: Když slyšíte o „TensorFlow“, název je odvozen právě od „tékání“ (flow) tenzorů skrze graf matematických operací.